Question

设函数f(x)=ax³+bx²+cx,在x=1,x=-1处有极值且f(1)=-1,求a、b、c的值及函数f(x)的极值.

Answer 1

分析:此题是考查利用导数求函数的极值的题目.思维的方向属于逆向思维.需注意极值点与导数之间的关系:对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是这点的导数为零，也就是说,极值点为f′(x)=0的根.利用这种关系，列a、b、c的方程组求a、b、c的值，确定函数f(x)的解析式,再进一步利用导数求f(x)的极值.

解:∵f(x)=ax³+bx²+cx，

∴f′(x)=3ax²+2bx+c.

∵x=1,x=-1为方程f′(x)=0的根，

∴

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.  ③

由①②③得a=,b=0,c=-.

∴f(x)=x³-x,f′(x)=x²-.

令f′(x)=0,即x²-=0,解得x=±1.

当x的值变化时，y、y′的变化情况如下表：

因此,当x=1时，f(x)有极小值，并且f(x)极小值=-1;

当x=-1时，f(x)有极大值，并且f(x)极大值=1.

点评:本题是先利用待定系数法求函数解析式,再进一步求其极值.若题目告诉了曲线的种类和方程的具体形式,可先设出它的方程,再进一步确定方程中的参数.一般说来,要求几个未知数的值，就需根据题设条件构造含有该未知数的几个方程,这就是方程思想的重要应用.