Question

如图，已知在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD₁＝2AD＝2AB＝2．

(Ⅰ)求证：DB⊥平面B₁BCC₁；

(Ⅱ)求二面角A₁－BD－C₁的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)设是的中点，连结，则四边形为正方形， 　　．故，，，，即． 　　又， 　　平面， 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面， 　　又平面，， 　　取的中点，连结，又，则． 　　取的中点，连结，则，． 　　为二面角的平面角． 　　连结，在中，，， 　　取的中点，连结，， 　　在中，，，． 　　． 　　二面角的余弦值为． 　　解法二： 　　(Ⅰ)以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． 　　，， 　　 　　 　　又因为所以，平面． 　　(Ⅱ)设为平面的一个法向量． 　　由，， 　　得取，则． 　　又，，设为平面的一个法向量， 　　由，，得取，则， 　　设与的夹角为，二面角为，显然为锐角， 　　，