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    已知圆C过定点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
    （1）求圆C的圆心的轨迹方程；
    （2）设|AM|=m，|AN|=n，求
    m
    n
    +
    n
    m
    的最大值及此时圆C的方程．△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置关系是（　　）
    分析：（1）设圆C的圆心为C（x，y），圆的半径 r=
    		x2+(y-a)2
    ，由圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．可得|y|2+a2=r2，整理可求．
    （2）设∠MAN=θ，|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，故m2+n2-2m•n•cosθ=4a2，由S△MAN=
    1
    2
    mnsinθ=
    1
    2
    •a•2a    ，
    n
    m
    =2cosθ+2sinθ    =2
    		2
    sin(θ+
    π
    4
    )≤2
    		2
    ，知当θ=
    π
    4
    时，
    m
    n
    +
    n
    m
    取最大值2
    		2
    ，由此能求出
    m
    n
    +
    n
    m
    的最大值及此时圆C的方程．
    由等差数列的性质得sin2B=sinA•sinC，分别化简两直线方程的一次项系数与常数项之比的结果，从而得到两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置关系．
    解答：解：（1）设圆C的圆心为C（x，y），
    依题意圆的半径   r=
    		x2+(y-a)2
    ，
    ∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．
    ∴|y|2+a2=r2，
    故x2+（y-a）2=|y|2+a2，
    ∴x2=2ay，
    ∴圆C的圆心的轨迹方程为x2=2ay．
    （2）设∠MAN=θ，
    |AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，
    ∴m2+n2-2m•n•cosθ=4a2，
    ∵S△MAN=
    1
    2
    mnsinθ=
    1
    2
    •a•2a    ，
    ∴
    n
    m
    =2cosθ+2sinθ    =2
    		2
    sin(θ+
    π
    4
    )≤2
    		2
    ，
    当θ=
    π
    4
    时，
    m
    n
    +
    n
    m
    取最大值2
    		2
    ，
    ∵∠MCN=2∠MAN=
    π
    2
    ，
    ∴点C的坐标为(±
    		2
    a，a)    ，
    故
    m
    n
    +
    n
    m
    的最大值为2
    		2
    ，
    此时圆C的方程为(x-
    		2
    a)2+(y-a)2=2a2    ，
    或(x+
    		2
    a)2+(y-a)2=2a2    ．
    由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得  lg（sinB）2=lg（sinA•sinC）．
    ∴sin2B=sinA•sinC．  
    设l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0．
    ∵
    a1
    a2
    =
    sin2A
    sin2B
    =
    sin2A
    sinAsinC
    =
    sinA
    sinC
    ，
    b1
    b2
    =
    sinA
    sinC
    ，
    c1
    c2
    =
    -a
    -c
    =
    -2RsinA
    -2RsinC
    =
    sinA
    sinC
    ，
    ∴
    a1
    a2
    =
    b1
    b2
    =
    c1
    c2
    ，
    ∴l1与l2重合，
    故选A．
    点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本题考查等差数列的性质，两直线位置关系的判定方法．
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    已知圆C过定点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
    （1）求圆C的圆心的轨迹方程；
    （2）设|AM|=m，|AN|=n，求
    m
    n
    +
    n
    m
    的最大值及此时圆C的方程．△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）y-a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y-c=0的位置关系是（　　）
    A．、重合B．相交（不垂直）C．垂直D．平行

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C过定点A(0,a)(a>0)且在x轴上截得的弦MN的长为2a.

    求圆C的圆心的轨迹方程；

    设|AM|=m，|AN|=n，求+的最大值及此时圆C的方程.

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