Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：y=f（x）在区间[-1，1]上有零点转化为（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数在[-1，1]上的值域，再用分离常数法求函数在[-1，1]的值域即可．
解答：解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，?（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解
在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x=3-t，t∈[1，5]，，
设，时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是，
∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解?∈?a≥1或．
故a≥1或a≤-．
点评：本题是一道中档题，主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．