Question

在等比数列{a_n}(n∈N^*)中，a₁＞1,公比q＞0.设b_n=log₂a_n,且b₁+b₃+b₅=6,b₁b₃b₅=0.

(1)求证:数列{b_n}是等差数列；

(2)求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n；

(3)试比较a_n与S_n的大小.

Answer 1

剖析:(1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论.

(1)证明:∵b_n=log₂a_n,

    ∴b_n+1-b_n=log₂=log₂q为常数.

    ∴数列{b_n}为等差数列且公差d=log₂q.

(2)解:∵b₁+b₃+b₅=6,∴b₃=2.

    ∵a₁＞1,∴b₁=log₂a₁＞0.

    ∵b₁b₃b₅=0,∴b₅=0.

    ∴解得

    ∴S_n=4n+×(-1)=.

    ∵∴

    ∴a_n=2^5-n(n∈N^*).

    (3)解:显然a_n=2^5-n＞0,当n≥9时，S_n=≤0.

    ∴n≥9时，a_n＞S_n.

    ∵a₁=16,a₂=8,a₃=4,a₄=2,a₅=1,a₆=,a₇=,a₈=,S₁=4,S₂=7,S₃=9,S₄=10,S₅=10,S₆=9,S₇=7,S₈=4,

    ∴当n=3,4,5,6,7,8时，a_n＜S_n;

    当n=1,2或n≥9时，a_n＞S_n.

评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.