Question

求证：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

Answer 1

活动：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.

证明：建立直角坐标系，如图7，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有A（0，0）.

图7

设Ｂ（a，0），D（b，c），由平行四边形的性质知点Ｃ的坐标为（a+b，c），

因为|AB|²=a²，|CD|²=a²，|AD|²=b²+c²=|BC|²,

|AC|²=(a+b)²+c²,|BD|²＝(b-a)²+c²,

所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²＝2(a²+b²+c²),

|AC|²+|BD|²＝2(a²+b²+c²).

所以|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²＝|AC|²+|BD|²,

即平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

点评：上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步,建立直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步,把代数结果“翻译”成几何关系.