Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．

（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；

（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a²=b²+1．

消去a可得，2b⁴﹣5b²﹣3=0，解得b²=3或（舍去），则a²=4，

∴椭圆E的方程为．

（2）（ⅰ）设P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），则，，

∵A，P，M三点共线，∴，∴，

∵P（x₁，y₁）在椭圆上，∴，故为定值．

（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，

则直线m的方程为，====，

即．

所以直线m过定点（﹣1，0）．