Question

二次函数f(x)的图象顶点为A(1,16)，且图象在x轴上截得线段长为8.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)令g(x)＝(2－2a)x－f(x)；

①若函数g(x)在x∈[0,2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；

②求函数g(x)在x∈[0,2]的最小值．

Answer 1

解：(1)设f(x)＝a(x－1)²＋16＝ax²－2ax＋a＋16，

f(x)＝0的两根为x₁，x₂(x₁<x₂)，

所以x₁＋x₂＝2，x₁·x₂＝，x₂－x₁＝8，

解得x₁＝－3，x₂＝5，a＝－1.

所以f(x)＝－(x－1)²＋16.

(2)由(1)得g(x)＝x²－2ax－15＝(x－a)²－a²－15.

①因为g(x)在x∈[0,2]上单调递增，所以只需a≤0.

②当a<0时，g(x)_min＝g(0)＝－15；

当0≤a≤2时，g(x)_min＝g(a)＝－a²－15；

当a>2时，g(x)_min＝g(2)＝－4a－11.

综上，g(x)_min＝