Question

如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=a.

(1)求证：面AD′B′∥面C′DB;

(2)求证：A′C⊥面AD′B′;

(3)求平面AD′B′与面BC′D之间的距离.

Answer 1

(1)证明：∵D′B′∥BD,∴D′B′∥平面C′DB.?

同理，AB′∥平面C′DB.?

又D′B′∩AB′=B′，∴平面AD′B′∥平面C′DB.?

(2)证明：∵A′C′⊥B′D′，而A′C′为?A′C?在平面A′B′C′D′上的射影，∴A′C⊥面AD′B′.?

(3)解析：设A′C∩面AB′D′=M，A′C∩面BC′D=N，O′、O分别为上下底面的中心，则M∈AO′,N∈C′O，且AO′∥C′O.?

MN的长即为平面AD′B′与面C′DB的距离，即MN=A′M=NC=A′C=a.