Question

（2013•铁岭模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，{b_n}为等差数列且各项均为正数，a1=1，an+1=2Sn+1(n∈N*)，b1+b2+b3=15
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入a_n+1=2S_n+1，并根据S₁=a₁进行化简得到a₂=3a₁，当n大于等于2时，表示出a_n+1-a_n，根据S_n-S_n-1=a_n变形，可得出a_n+1=3a_n，进而确定出数列{a_n}是首项a₁=1，公比为3的等比数列，表示出此等比数列的通项公式即可；
（2）设出等差数列{b_n}的公差为d，由已知b₁+b₂+b₃=15，利用等差数列的性质化简，可得出b₂的值，再由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用等比数列的通项公式化简得到关于d的方程，求出方程的解得到d的值，进而求出b₁的值，利用等差数列的求和公式表示出T_n，利用拆项法得到

1

Tn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
列举出T_n的各项，抵消合并后即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）a₂=2S₁+1=3=3a₁，
当n≥2时，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n，（3分）
∴a_n+1=3a_n，即

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是首项a₁=1，公比为3的等比数列，（4分）
从而得：an=3n-1；（6分）
（2）设数列{b_n}的公差为d（d＞0），
∵T₃=15，∴b₂=5，
依题意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
则有(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)，
又a₂=3，b₁=b₂+d=5-d，b₃=b₂+d=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
解得：d=2或d=-10（舍去），（8分）
∵b₁=5-d=5-2=3，
∴Tn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n，（10分）
∵

1

Tn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
则

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

[(

1

1

+

1

2

+…+

1

n

)-(

1

3

+

1

4

+…+

1

n+2

)]
=

1

2

[(

1

1

+

1

2

)-(

1

n+1

+

1

n+2

)]=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．（13分）

点评：此题考查了等差、等比数列的性质，等差、等比数列的通项公式，等比数列的确定，以及数列的求和，利用了拆项的方法，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．