Question

设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．

（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，记过点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

专题：

计算题；综合题；压轴题；分类讨论．

分析：

（Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；

（Ⅱ）假设存在a，使得k=2﹣a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．

解答：

解：（I）f（x）定义域为（0，+∞），

f′（x）=1+，

令g（x）=x²﹣ax+1，△=a²﹣4，

①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x₁=，x₂=，

当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；当x＞x₂时，f′（x）＞0；

故f（x）分别在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减．

（Ⅱ）由（I）知，a＞2．

因为f（x₁）﹣f（x₂）=（x₁﹣x₂）+﹣a（lnx₁﹣lnx₂），

所以k==1+﹣a，

又由（I）知，x₁x₂=1．于是

k=2﹣a，

若存在a，使得k=2﹣a，则=1，即lnx₁﹣lnx₂=x₁﹣x₂，

亦即   （*）

再由（I）知，函数在（0，+∞）上单调递增，

而x₂＞1，

所以＞1﹣1﹣2ln1=0，这与（*）式矛盾，

故不存在a，使得k=2﹣a．

点评：

此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．