Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足递推关系a_n+1=

2 a 2 n +3an+m

an+1

（m∈N^*）
（1）当m=1时，求数列{a_n}的通项a_n；
（2）当m∈N^*时，数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）m=1，由an+1=

2an2+3an+1

an+1

，n∈N^*，得：a_n+1+1=2（a_n+1），由此能够求出数列{a_n}的通项a_n．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，所以

2an2+3an+m

an+1

≥an，依题意，有m＞-（a_n+1）²+1恒成立．由此能求出满足题意的m的取值范围．

解答：解：（1）m=1，由an+1=

2an2+3an+1

an+1

，n∈N^*，
得：an+1=

(2an+1)( an+1)

an+1

=2an+1，
a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．
于是a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，
∴

2an2+3an+m

an+1

≥an，
即m≥-a_n²-2a_n，
依题意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．
∵a_n≥1，
∴m≥-2²+1=-3，
即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，用两边夹的方法确定整数参数．第Ⅲ小题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．