Question

点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，
解方程组求得点P的坐标．
（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的
距离d的平方得解析式，配方求得最小值．
解答：解：（1）由已知可得点A（-6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x-4，y）．
由已知可得，2x²+9x-18=0，解得x=，或x=-6．
由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．
（2）直线AP的方程是 ，即 x-y+6=0．  
设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．
于是=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．
设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-x² =（x-）²+15，
∴当x=时，d取得最小值．
点评：本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M的坐标，是解题的难点．