Question

已知x＞0，y＞0，且，求x＋y的最小值．

Answer 1

答案：16
解析：

解法1：∵， ∴． ∵x＞0，y＞0，∴． 当且仅当，即y=3x时，取等号． 又，∴x=4，y=12． ∴当x=4，y=12时，x＋y取最小值16． 解法2：由，得． ∵x＞0，y＞0，∴y＞9． ． ∵y＞9，∴y－9＞0，∴． 当且仅当，即y=12时，取等号，此时，x=4．∴当x=4，y=12时，x＋y取最小值16． 解法3：由，得y＋9x=xy，∴(x－1)(y－9)=9． ∴． 当且仅当x－1=y－9时取等号．又， ∴x=4，y=12． ∴当x=4，y=12时，x＋y取最小值16．

提示：

要求x＋y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形． 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察学会变形．另外解法2，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响．