Question

已知两个正数a、b．则．三个正数a、b、c，则；…类比写出n个正数的关系式并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点是类比推理，在两个正数的不等式推理n个正数的关系式时，我们一般的思路有：由两个数算术平均数类比推理为n个正数算术平均数，由两个数平方的平均数类比推理为n个正数数平方的平均数，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以类比上述性质，得到，最后利用数学归纳法证明．
解答：解：对于两个正数a、b．则．
左式是两个正数的算术平均数，右式是两个数平方的平均数的平方根，
对于三个正数a、b有类似的不等式，
在类比写出n个正数的关系式时，有：
对于n个正数a₁、a₂，…a_n．则．
欲证：．
只须证明：（a₁+a₂+…+a_n）²≤n（a₁²+a₂²+…+a_n²）
证：①当n=1时显然成立；
②假设当n=k时成立，即（a₁+a₂+…+a_k）²≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）
当n=k+1时，：（a₁+a₂+…+a_k+1）²≤（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）²=（a₁+a₂+…+a_k）²+2a_k+1（a₁+a₂+…+a_k）+a_k+1²
≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）+2a₁a _k+1+2a₂a_k+1+…+2a_ka _k+1+a_k+1²
≤k（a₁²+a₂²+…+a_k²）+a₁²+a _k+1²+a₂²+a_k+1²+…+a_k²+a _k+1²+a_k+1²
≤（k+1）（a₁²+a₂²+…+a_k²），
即当n=k+1时也成立，
∴n个正数的关系式：成立．
点评：本小题是一道类比推理问题，主要考查创新思维能力．事实上，不等式中的不少定理、结论都可以类比推广到n个正数中去，值得我们进一步去探索和研究．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．