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    设P为锐角△ABC内任意一点,P点到三边BC、CA、AB的距离分别为PD、PE、PF,试求BD2+CE2+AF2的最小值.

    解：设BC=a,CA=b,AB=c,BD=x,CE=y,AF=z,如图,连结PA、PB、PC.

    由勾股定理,得(x2+PD2)+(y2+PE2)+(z2+PF2)=PB2+PC2+PA2

    =(c-z)2+PF2+(a-x)2+PD2+(b-y)2+PE2.

    ∴x2+y2+z2=(a-x)2+(b-y)2+(c-z)2,

    即ax+by+cz=(a2+b2+c2),                                                  ①

    由柯西不等式,得ax+by+cz≤.                    ②

    由①②,得≥(a2+b2+c2).

    ∴x2+y2+z2≥(a2+b2+c2),当且仅当x=λa,y=λb,z=λc时等号成立.

    将它们代入①式,得λ=.

    ∴当x=,y=,z=,即P为△ABC的外心时,BD2+CE2+AF2达到最小值(a2+b2+c2).

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    12
    01
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    N
    N
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    PA
    |-|
    PB
    |=n    ，则动点P的轨迹为双曲线；
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    AB
    与
    AP
    夹角为锐角θ，且满足 |
    PB
    | |
    AB
    | +
    PA
    •
    AB
    =0    ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
    ⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
    其中所有真命题的序号为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设P为锐角△ABC内任意一点,P点到三边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF,试求BD2+CE2+AF2的最小值.

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省南通市高三（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

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