Question

（2012•泰安二模）设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间．
（II）当a≤0时，函数有零点；当a＞0时，极大值小于0，函数没有零点，由此可求实数a的取值范围．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′（x）=

1-ax

x

①当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数
②当a＞0时，令f′（x）＞0，则1-ax＞0，ax＜1，∵x＞0，∴0＜x＜

1

a

令f′（x）＜0，则1-ax＜0，ax＞1，x＞

1

a

∴当a＞0时f（x）在（0，

1

a

）上是增函数，在（

1

a

，+∞）上是减函数．
（II）当a≤0时，当x＞0，且无限趋近于0时，f（x）＜0，f（1）=-a≥0，故函数有零点
当a＞0时，若极大值小于0，即f（

1

a

）=-lna-1＜0，即a＞

1

e

，则函数没有零点．
∴函数f（x）无零点时，实数a的取值范围是（

1

e

，+∞）．

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．