Question

如图，点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，BC的中点坐标是（11，-4）．
（1）求抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求BC所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）把A（2，8）代入抛物线方程可得：8²=2p×2，解得p，即可得到抛物线的方程为和焦点F．
（2）由于B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=32x上，可得

y 2 1 =32x1 y 2 2 =32x2

，化为（y₁+y₂）（y₁-y₂）=32（x₁-x₂），再利用

y1-y2

x1-x2

=kBC，

y1+y2

2

=-4，即可得到k_BC．

解答：解：（1）把A（2，8）代入抛物线方程可得：8²=2p×2，
解得p=16，
∴抛物线的方程为y²=32x．
∴焦点F（8，0）．
（2）∵B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=32x上，
∴

y 2 1 =32x1 y 2 2 =32x2

，
化为（y₁+y₂）（y₁-y₂）=32（x₁-x₂），
∵

y1-y2

x1-x2

=kBC，

y1+y2

2

=-4，
∴-8k_BC=32，
解得k_BC=-4．
∴直线BC的方程为y+4=-4（x-11），
化为4x+y-40=0．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．