Question

设函数f（x）=x³+a﹣a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=3+2ax﹣a²=
当a=0时f'（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）
当a＞0时由f'（x）＞0得x＜﹣a或，
由f'（x）＜0得，
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣a），，单调递减区间为
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
则f（x）在[﹣1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵
由（1）知f（x）在上单调递增，在上单调递减；
则要f（x）在[﹣1，1]上没有极值点，
则只需f'（x）=0在（﹣1，1）上没有实根．
∴，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴≤﹣3
又x∈[﹣2，2]
由（1）的单调性质知f（x）_max=max{f（﹣2），f（2）}
而f（2）﹣f（﹣2）=16﹣4a²＜0
∴f（x）_max=f（﹣2）=﹣8+4a+2a²+m
∵f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即﹣8+4a+2a²+m≤1即m≤9﹣4a﹣2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∵9﹣4a﹣2a²的最小值为﹣87
∴m≤﹣87