Question

设函数f(x)＝x³＋ax²－a²x＋m(a＞0)．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

(Ⅲ)若对任意的a∈[3，6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x－)(x＋a)， 　　又a＞0，∴当x＜－a或x＞时(x)＞0； 　　当－a＜x＜时，(x)＜0． 　　∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)，(，＋∞)，单调递减区间为(－a，)．(4分) 　　(Ⅱ)由题设可知，方程(x)＝3x2＋2ax－a2＝0在[－1，1]上没有实根 　　∴，解得a＞3　　(8分) 　　(Ⅲ)∵a∈[3，6]，∴由(Ⅰ)知∈[1，2]，－a≤－3 　　又x∈[－2，2] 　　∴f(x)max＝max{f(－2)，f(2)} 　　而f(2)－f(－2)＝16－4a2＜0 　　∴f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m　　(10分) 　　又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立 　　∴f(x)max≤1即－8＋4a＋2a2＋m≤1 　　即m≤9－4a－2a2，在a∈[3，6]上恒成立 　　∵9－4a－2a2的最小值为－87 　　∴m≤－87　　(13分)