Question

22.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈［0，］，

都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂).

(Ⅰ)设f(1)=2，求f()，f()；

(Ⅱ)证明f(x)是周期函数.

Answer 1

22.本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性等基础知识，考查运算能力和逻辑思维能力.

　

(Ⅰ)解：由f(x₁+ x₂)=f(x₁)·f(x₂)，x₁，x₂∈［0，］知f(x)= f()·f()≥0，x∈［0，1］，            

∵　f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］²，

f(1)=2.

　∴　f()＝.                                      

∵　f()=f(+)=f()·f()=［f()］²，

f()=，

∴　f()=.                                 

 

(Ⅱ)证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称，

故　f(x)=f(1+1－x)，

即　f(x)=f(2－x)，x∈R.                             　

又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R，

∴　f(－x)=f(2－x)，x∈R，

将上式中－x以x代换，得

f(x)=f(x+2)，x∈R.

这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.