Question

如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.

(1)证明PA∥平面EDB;

(2)求EB与底面ABCD所成角的正切值.

Answer 1

(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点.设DC=a,

连结AC交BD于G,连结EG.

依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,).

∵底面ABCD是正方形,

∴G是此正方形的中心.

故点G的坐标为(,0).

∴=(a,0,-a),=(,0,-).

∴,这表明PA∥EG.

而EG平面EDB且PA平面EDB,

∴PA∥平面EDB.

(2)解:依题意得B(a,a,0)、C(0,a,0)，如上图所示.

取DC的中点F(0,,0),连结EF、BF.

∵=(0,0,),=(a,,0),=(0,a,0),

∴

∴FE⊥FB,FE⊥DC.

∴EF⊥底面ABCD.BF为BE在底面ABCD内的射影,

故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.

在Rt△EFB中,

∴tan∠EBF=

∴EB与底面ABCD所成角的正切值为.