Question

试在x轴上求点A，直线y＝x上求点B，使△ABC的周长最小，其中点C的坐标为(2，1)．

Answer 1

答案：
解析：

[探究]显然直接在直线y＝x上任取一点B的坐标，在x轴上任取一点A的坐标，这里涉及到3个变量，想求解它是困难的．怎么办？不妨先作出图形，将三角形的三边之和转化为一条线段上的距离之和，这样就转化成了两点间距离的最小值．那又怎样转化？利用对称点，将距离转化为直线上等长的部分即可． 　　[解]如图，分别作点C关于x轴、直线y＝x的对称点、，则|AC|＝|A|，|BC|＝|B|，从而△ABC的周长＝|CB|＋|BA|＋|AC|＝|B|＋|BA|＋|A|＝折线段AB的长，显然当A、B分别为直线与x轴、直线y＝x的交点时，折线段AB的长最短． 　　易知，的坐标为(2，－1)，的坐标为(1，2)，由两点式直线方程得，直线的方程为3x＋y－5＝0． 　　在上述方程中分别令y＝0，以及y＝x，解得． 　　[规律总结]1．求点关于直线的对称点，直线关于直线的对称直线问题，其实质便是垂直问题．点P关于直线l的对称点是指过P作直线l的垂线并延长使其长度等于点P到l的距离上的点，即 　　若l：Ax＋By＋C＝0，P(x1，y1)关于直线l的对称点为(x2，y2)，则 　　(AB≠0)． 　　特别地，点P(x，y)关于x轴、y轴以及直线x＝y的对称点分别为(x，－y)、(－x，y)和(y，x)．