Question

求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ．

Answer 1

答案：略
解析：

思维分析1：根据直线和平面垂直的判定定理可在γ内构造两相交直线分别与平面α、β垂直． 证法1：如图，设α∩γ＝α，β∩α＝b在γ内任取一点p，过点p在γ内作直线m⊥a，n⊥b．∵a⊥，β⊥γ，∴m⊥o，n⊥β(面面垂直的性质)．又∩β＝l，∴l⊥m，l⊥n，∴l⊥γ． 思维分析2：由面面垂直的性质易在α、β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可． 证法2：如图，在α内作m⊥α，在β内作n⊥b．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，nβ，mβ∴m∥β又α∩β＝l，ma，∴m∥l．又m⊥γ，∴l⊥γ． 充分利用面面垂直的性质构造面垂直是解决本题关键，证法1充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相转化；证法2涉及垂直关系与平行关系之间的转化关系，此题是线线、线面、面面垂直转化的典型题；通过一题多解对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的．