Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，且S_n+1=4a_n+2,a₁=1.

(1)设b_n=a_n+1-2a_n,求证数列{b_n}是等比数列；

(2)设c_n=,求证数列{c_n}是等差数列；

(3)求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式.

Answer 1

(1)证明：∵S_n+1=4a_n+2，当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2两式作差得a_n+1=4a_n-4a_n-1,

∴a_n+1-2a_n=2(a_n-2a_n-1)(n≥2),

∴数列{a_n-2a_n-1}是等比数列.

(2)证明：由S_n+1=4a_n+2,令n=1,

结合a₁=1.

得：a₁+a₂=4a₁+2,∴a₂=5,

∴a₂-2a₁=3.

由(1)的结论，结合等比数列通项得a_n-2a_n-1=3×2^n-2，两边除以2ⁿ得(n≥2).

∴数列{}是等差数列.

(3)解：由等差数列的通项公式得

=(n-1)=n-,

∴a_n=2ⁿ(n-)=(3n-1)×2^n-2.

S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n

=2×2^-1+5×2⁰+8×2+…+(3n-1)×2^n-2，

2S_n=2×2⁰+5×2+…+(3n-4)×2^n-2+(3n-1)2^n-1，

错位相减得

-S_n=1+3(1+2+2²+…+2^n-2)-(3n-1)2^n-1

=1+3×-(3n-1)2^n-1

=-2-(3n-4)·2^n-1.

∴S_n=(3n-4)·2^n-1+2.