Question

已知f（x）=-4cos²x+4asinxcosx，将f（x）的图象按向量，2）平移后，图象关于直线x=对称．
（1）求实数a的值，并求f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）求得将f（x）的图象按向量，2）平移后的解析式为g（x）=f（x+）+2=2sin2x+2acos2x，利用其图象关于直线x=对称可求得a；
（2）将 化为，利用正弦函数的单调性可求得f（x）的单调递增区间．
解答：解：（1）f（x）=2asin2x-2cos2x-2，
将f（x）的图象按向量，2）平移后的解析式为g（x）=f（x+）+2=2sin2x+2acos2x．…（3分）
∵g（x）的图象关于直线x=对称，
∴有g（0）=g（），即2a，解得a=1．   …（5分）
则f（x）=2）-2．   …（6分）
当2x-，即x=kπ+时，f（x）取得最大值2．…（7分）
因此，f（x）取得最大值时x的集合是．…（8分）
（2）由，解得．
因此，f（x）的单调递增区间是[]（k∈Z）．…（12分）
点评：本题考查三角函数的最值，重点考查正弦函数的对称性质与单调性，难点是辅助角公式的理解与应用，属于中档题．