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    在半径为1的圆O内，过其一条直径上的任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接正三角形边长的概率．

    答案：
    解析：

    　　解：设事件Ω＝“弦长超过圆内接正三角形的边长”．如下图，因为点随机地落在直径上，所以不妨设过正△ABC的顶点B的直径BG为所有实验结果构成的区域．在直径BG上任取一点作垂直于BG的弦，当弦为CA时，其弦长即为正△ABC的边长，且CA与BG交于点F．当弦长大于弦CA的长，则圆心O到弦的距离小于|OF|，由正三角形的性质，可知|OF|＝．

    　　所以P(Ω)＝＝，故弦长超过圆内接正三角形边长的概率为．


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．
    （1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率；
    （2）求弦AB的长超过圆半径的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1+BB1+CC1≥
    9R
    2
    ”．
    证明如下：
    OA1
    AA1
    +
    OB1
    BB1
    +
    OC1
    CC1
    =
    S△OBC
    S△ABC
    +
    S△OAC
    S△ABC
    +
    S△OAB
    S△ABC
    =1    ，
    即：
    AA1-R
    AA1
    +
    BB1-R
    BB1
    +
    CC1-R
    CC1
    =1    ，即
    1
    AA1
    +
    1
    BB1
    +
    1
    CC1
    =
    2
    R
    ，
    由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
    1
    AA1
    +
    1
    BB1
    +
    1
    CC1
    )≥9    ．∴AA1+BB1+CC1≥
    9R
    2
    ．
    将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则
    AA1+BB1+CC1+DD1≥
    16R
    3
    AA1+BB1+CC1+DD1≥
    16R
    3
    ”．

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    科目：高中数学 来源：学习周报　数学　北师大课标高一版(必修3)　2009－2010学年　第36期　总192期 北师大课标版 题型：044

    向半径为1的圆O内投掷一点，求此点落在圆内接正三角形的概率．

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    科目：高中数学 来源：学习周报　数学　北师大课标高一版(必修3)　2009－2010学年　第36期　总192期 北师大课标版 题型：044

    在半径为1的圆O上随机地取两点，并连成一条弦，求其弦长超过圆内接正三角形边长的概率．

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