Question

已知m∈R，函数f(x)=(x²+mx+m)·e^x.

（1）若函数f(x)没有零点，求实数m的取值范围；

（2）若函数f(x)存在极大值，并记为g(m)，求g(m)的表达式；

（3）当m=0时，求证：f(x)≥x²+x³.

Answer 1

解:(1)令f(x)=0,得(x²+mx+m)·e^x=0,∴x²+mx+m=0.∵函数f(x)没有零点,∴Δ=m²-4m＜0.

∴0＜m＜4.

(2)f′(x)=(2x+m)e^x+(x²+mx+m)e^x=(x+2)(x+m)e^x,

令f′(x)=0,得x=-2或-m,

当m＞2时,则-m＜-2,

x	(-∞,-m)	-m	(-m,-2)	-2	(-2,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	me-m	↘	(4-m)e-2	↗

当x=-m时,f(x)取得极大值me^-m,

当m=2时,f′(x)=(x+2)²e^x≥0,f(x)在R上为增函数,∴f(x)无极大值.

当m＜2时,则-m＞-2.

x	(-∞,-2)	-2	(-m,-2)	-m	(-m,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	(4-m)e-2	↘	me-m	↗

当x=-2时,f(x)取得极大值(4-m)e^-2,

∴g(m)=

(3)证明:令φ(x)=e^x-1-x,则φ′(x)=e^x-1,

当x＞0时,φ′(x)＞0,φ(x)为增函数;当x＜0时,φ′(x)＜0,φ(x)为减函数,

∴当x=0时,φ(x)取得最小值0.

∴φ(x)≥φ(0)=0.∴e^x-1-x≥0.∴e^x≥1+x.∴x²e^x≥x²+x³.∴f(x)≥x²+x³.