Question

（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且sin(α+β)=

5

13

，tan

α

2

=

1

2

．则cosβ的值为

-

16

65

．

Answer 1

分析：由tan

α

2

的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β-α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵tan

α

2

=

1

2

，
∴tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

4

3

＞1，
∴α∈（

π

4

，

π

2

），
∴cosα=

1 1+tan2α

=

3

5

，sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
∵sin（α+β）=

5

13

＜

2

2

，
∴α+β∈（

π

2

，π），
∴cos（α+β）=-

12

13

，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

．
故答案为：-

16

65

点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．