Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³-3x图象的下方．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的极值与最值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），在区间[1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）=x³-3x图象的下方等价于F（x）＜0在[1，+∞）上恒成立，转化为考查F（x）最小值问题．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx．得
f′（x）=x+

2

x

-3=

x2-3x+2

x

=

(x-1)(x-2)

x

当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减，当x∈（2，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，e）上单调递增，
所以当x=2时，f（x）_min=f（2）=2ln2-4．
又f（1）=-

5

2

，f（e）=

1

2

e2-3e+2，f（e）-f（1）=

1

2

(e2-6e+9)=

1

2

(e-3)2＞0，
所以f（e）＞f（1），f（x）_max=f（e）=

1

2

e2-3e+2，
综上所述，函数f（x）在[1，e]上的最大值为

1

2

e2-3e+2，最小值为2ln2-4．
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2lnx-x3，则F′（x）=-3x²+x+

2

x

=

-3x3+x2+2

x

=

-(x-1)(3x2+2x+2)

x

当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在[1，+∞）上是减函数，且F（1）=-

1

2

＜0，
故当x∈[1，+∞）时，F（x）＜0，所以

1

2

x2-3x+2lnx＜x³-3x，
所以在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³-3x图象的下方．

点评：考查学生了利用导数求闭区间上函数的最值的能力，数形结合的思想方法．是中档题．