Question

（20）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列．记．

（Ⅰ）求数列和的通项；

（Ⅱ）当时，比较与的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．

解：

（I）∵成等比数列，

∴，

∴

∴                                              

∵成等差数列，∴，

∴

所以，数列的通项，数列的通项     

 

（II）∵，，

∴，

要比较与的大小，只需比较与的大小，也即比较当n7时，与的大小．

当n=7时，，，得知，

经验证时，均有命题成立．

猜想当时有．用数学归纳法证明．            

  （i）当时，已验证，命题成立．

  （ii）假设时，命题成立，即

，

那么

又当时，有

∴

     

      这就是说，当时，命题成立．

根据（i）、（ii），可知命题对于都成立．

故当时，