Question

正三棱锥A－BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，

求(1)周长的最小值；

(2)周长为最小时截面积的值，

(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图．如图，当周长最小时，EF在直线B上，∵ΔABE≌ΔAF，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC＝a，同理F＝D＝a．∵ΔFD∽ΔAD，∴＝，＝＝，∴DF＝a，AF＝a．又∵ΔAEF∽ΔACD，∴B＝a＋a＋a＝a，∴截面三角形的周长的最小值为a． 　　(2)如下图，∵ΔBEF等腰，取EF中点G，连BG，则BG⊥EF．∴BG＝＝＝a　∴SΔBEF＝·EF·BG＝·a·a＝a2． 　　(3)∵VA－BCD＝VB－ACD，而三棱锥B－AEF，三棱锥B－ACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即 　　＝＝＝ 　　评析：把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法．本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质．