Question

四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足＝＝λ∈(0，1)．

(Ⅰ)求证：FG∥平面PDC；

(Ⅱ)求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．

Answer 1

答案：
解析：

方法一： 　　(Ⅰ)证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点， 　　不妨设PA＝2，则，， 　　，，，． 　　由，得 　　，， 　　， 　　设平面的法向量＝(x，y，z)，则 　　，， 　　得 　　可取＝(，1，2)，于是 　　，故，又因为FG平面PDC，即∥平面．　6分 　　(Ⅱ)解：，， 　　设平面的法向量，则，， 　　可取，又为平面的法向量． 　　由，因为tan＝，cos＝， 　　所以，解得或(舍去)， 　　故．　15分 　　方法二： 　　(Ⅰ)证明：延长交于，连，． 　　得平行四边形，则∥， 　　所以． 　　又，则， 　　所以//． 　　因为平面，平面， 　　所以//平面．　6分 　　(Ⅱ)解：作FM于，作于，连． 　　则，为二面角的平面角． 　　，不妨设，则，， 　　由 　　得，即．　15分

提示：

本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．满分15分．