Question

根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x³+1在(-∞,+∞)上是减函数.

Answer 1

证明:任取x₁、x₂∈R且x₁＜x₂,则f(x₁)=-x₁³+1,f(x₂)=-x₂³+1,

∴f(x₁)-f(x₂)=x₂³-x₁³=(x₂-x₁)(x₁²+x₁x₂+x₂²).

∵x₁＜x₂,∴x₂-x₁＞0.

而x₁、x₂中至少有一个不为零，不妨设x₂≠0，

于是,x₁²+x₁x₂+x₂²=(x₁+)²+x₂²＞0,

∴(x₂-x₁)(x₁²+x₁x₂+x₂²)＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.