Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AB＝AC＝BC＝AA₁，D，E分别为BC，BB₁的中点．

(1)求证：A₁B∥平面AC₁D；

(2)求证：CE⊥平面AC₁D；

(3)直线C₁A₁与平面AC₁D所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结，与交于点，连结．因为，分别为和的中点，所以∥． 　　又平面，平面，所以∥平面． 　　(2)证明：在直三棱柱中，平面，又平面， 　　所以．因为，为中点，所以． 　　又，所以平面． 　　又平面，所以． 　　因为四边形为正方形，，分别为，的中点， 　　所以△≌△，． 　　所以． 　　所以．又，所以平面． 　　(3)设CE与C1D交于点M，连AM 　　由(2)知点C在面AC1D上的射影为M，故∠CAM为直线AC与面AC1D所成的角，又A1C1∥AC 　　所以∠CAM亦为直线A1C1与面AC1D所成的角． 　　易求得