Question

已知点在椭圆上，且该椭圆的离心率为．
（1）求椭圆Q的方程；
（2）若直线l与直线AB：y=-4的夹角的正切值为2，且椭圆Q上的动点M到直线l的距离的最小值为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依据椭圆的标准方程形式、椭圆的性质，利用待定系数法求方程．
（2）先确定直线的斜率，设出直线在y轴上的截距m，得到直线的方程，设出点M的坐标（参数式），利用点到直线的距离的最小值，求出m的值，从而得到直线方程．
解答：解：（1）依题意得：．（2分）
解之得：a=2，c=1，．
∴椭圆Q方程为：．（4分）
（2）由已知可得，直线l的斜率为k=±2，（6分）
①若k=2，设l的方程是2x-y+m=0，
点M的坐标为θ∈[0，2π）
则点M到直线l的距离为，（8分）
若m＞0，则，得m=9
若m＜0，则，得m=-9
所以所求直线l的方程是2x-y+9=0或2x-y-9=0．（12分）
②若k=-2，类似①可得所以所求直线l的方程是2x+y+9=0或2x+y-9=0．（14分）
综上所述，l的方程为2x-y+9=0或2x-y-9=0或2x+y+9=0或2x+y-9=0．
点评：本题考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式来解决最值问题，体现了分类讨论的数学思想．