Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c，aÎN⁺，b，cÎN

（1）若b>2a且f(sinx)(xÎR)的最大值为2，最小值为-4，试求函数f(x)的最小值；

（2）若对任意的实数x，不等式4x£f(x)£2(x²+1)恒成立，且存在x₀，使得f(x₀)£2(+1)成立，求c的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）aÎN+，b，cÎN，∴ f(x)=ax2+bx+c为开口向上，对称轴方程为x=的抛物线，(b>2a)且在[-1，1]上为增函数，于是f(sinx)有： ∵ b>2a且aÎN+    ∴ a=1，从而c=-2 f(x)=x2+3x-2=    f(x)的最小值为 （2）令x=1，代入4x£f(x)£2(x2+1)，4£f(1)£4Þf(1)=4  即a+b+c=4，从而b-4=-(a+c) 由4x£f(x)Þax2+(b-4)x+c³0恒成立，a>0，故D£0 即(b-4)2-4ac£0Þ(a+c)2-4ac£0Þ(a-c)2£0 ∴ a=c，又b>1，故a+c£4Þc£2，cÎN    c=1或c=2 当c=2时，b=0，这时f(x)=2x2+2，不存在x0，使f(x0)<2(+1) 当c=1时，b=2，这时f(x)=x2+2x+1，存在x0，使f(x0)<2(+1) 故c=1