Question

9．已知函数f（x）=a+$\sqrt{x}$lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=a+$\sqrt{x}$lnx（a∈R），得f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$（lnx+2）．
另f′（x）=0，得x=e^-2．列表如下：

x	（0，e-2）	e-2	（e-2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）		极小值

因此，函数f（x）的单调递增区间为（e^-2，+∞），单调减区间为（0，e^-2）．
（2）由（1）可知，f_min（x）=f（e^-2）=a-2e^-1．
（i）当a＞2e^-1时，由f（x）≥f（e^-2）=a-2e^-1＞0，得函数f（x）的零点个数为0．
（ii）当a=2e^-1时，因f（x）在（e^-2，+∞）上是单调增，在（0，e^-2）上单调减，
故x∈（0，e^-2）∪（e^-2，+∞）时，f（x）＞f（e^-2）=0．
此时，函数f（x）的零点个数为1．
（iii）当a＜2e^-1时，f_min（x）=a-2e^-1＜0．
①a≤0时，因为当x∈（0，e^-2]时，f（xa+$\sqrt{x}$lnx＜x≤0，
所以，函数f（x）在区间（0，e^-2]上无零点；
另一方面，因为f（x）在[e^-2，+∞）单调递增，且f（e^-2）=a-2e^-1＜0，
由e^-2a∈（e^-2，+∞），且f（e^-2a）=a（1-2e^-a）＞0，
此时，函数f（x）在（e^-2，+∞）上有且只有一个零点．
所以，当a≤0时，函数f（x）零点个数为1．
②0＜a＜2e^-1时，因为f（x）在[e^-2，+∞）上单调递增，且f（1）=a＞0，f（e^-2）=a-2e^-1＜0，
所以函数f（x）在区间（e^-2，+∞）上有且只有一个零点；
另一方面，因为f（x）在（0，e²]上是单调递减，且f（e^-2）=a-2e^-1＜0
又e${\;}^{-\frac{4}{a}}$∈（0，e^-2），且f（e${\;}^{-\frac{4}{a}}$）=a-$\frac{4}{a{e}^{\frac{2}{a}}}$＞a-$\frac{4}{a（\frac{2}{a}）^{2}}$=0，（当x＞0时，e^x＞x²成立）
此时，函数f（x）在（0，e²）上有且只有一个零点．
所以，当0＜a＜2e^-1，函数f（x）的零点个数为2．
综上所述，当a＞2e^-1时，f（x）的零点个数为0；
当a=2e^-1时，或a≤0时，f（x）的零点个数为1；
当0＜a＜2e^-1时，f（x）的零点个数为2．

点评 本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，函数的零点问题，是一道中档题．