Question

四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=

⑴求证：PD⊥平面ABCD

⑵求异面直线PB与AC所成的角

⑶求二面角A－PB－D的大小

 

Answer 1

答案：
解析：

⑴证明： ∵PD=a，AD=a，PA= 　　    ∴PD2+DA2=PA2 　　　　　　　　　　　　    同理∴∠PDA=90° 　　　　　　  即PD⊥DA，PD⊥DC 　　　　　　  ∵AO∩DC=D 　　       ∴PD⊥平面ABCD ⑵解：连结BD 　　  ∵ABCD是正方形 　　     ∴BD⊥AC 　　     ∵PD⊥平面ABCD 　　     ∴PD⊥AC 　　     ∵PD∩BD=D 　　     ∴AC⊥平面PDB 　　      ∵PBÌ平面PDB 　　     ∴AC⊥PB 　　     ∴PB与AC所成的角为90° ⑶解：设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E 　　    连OE 　　 ∵AO⊥平面PBD 　　   ∴OE⊥PB     ∴∠AEO为二面角 A－PB－D的平面角 　　   ∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB     ∴PA⊥AB     在Rt△PDB中，     在Rt△PAB中， 　　   ∵  ∴     　　   △AOE中 　　 　　 ∴∠AEO=60° 　　 ∴二面角A－PB－D的大小为60°