Question

已知函数f(x)＝，x∈[0，1]．

(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x³－3a²x－2a，x∈[0，1]，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g(x₀)＝f(x₁)成立，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)对函数f(x)求导，得(x)＝，令(x)＝0，解得x＝或x＝．当x变化时，(x)、f(x)的变化情况如下表： 　　所以，当x∈(0，)时，f(x)单调递减；当x∈(，1)时，f(x)单调递增． 　　当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[－4，－3]． 　　(2)对函数g(x)求导，得(x)＝3(x2－a2)． 　　因为a≥1，当x∈[0，1]时，(x)＝3(x2－a2)≤0， 　　即当x∈[0，1]时，g(x)为减函数，从而当x∈[0，1]时，有g(x)∈[g(1)，g(0)]． 　　又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a， 　　即当x∈[0，1]时，有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．任给x1∈[0，1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0，1]使得g(x0)＝f(x1)，则[1－2a－3a2，－2a] 提示：