Question

．（本小题满分13分）
已知数列中，，，其前项和为，且当时，．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，记数列的前项和为，证明对于任意的正整数，都有成立．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当时，,
所以．
又由，可推知对一切正整数均有，
∴数列是等比数列．                                    ……… 4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比数列的首项为1，公比为4，  
∴．当时，，又，
∴                                 ………７分
（Ⅲ）证明：当时，，此时
，
又，
∴．                      ………９分
，
当时，＝

．                                  ……… 12分
又因为对任意的正整数都有所以单调递增，即，
所以对于任意的正整数，都有成立．　　　……… 1３分

解析