Question

如图,阴影部分的点满足不等式组在这些点中,使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是___________________.

Answer 1

思路解析：可以利用函数的单调性求最值,也可以利用截距法或平移法.

解法一:由图可知,使目标函数k=6x+8y取得最大值的点一定在边界x+y=5或2x+y=6上取得.

①当0≤x≤1时,k=6x+8y=6x+8(5-x)=40-2x,在［0,1］上为减函数,所以当x=0时,k_max=40.

②当1≤x≤3时,k=6x+8y=6x+8(6-2x)=48-10x,在［1,3］上也是减函数,所以当x=1时,k_max=38.

由①②知,当x=0时,k=6x+8y的取值最大,此时y=5,所以所求点的坐标为(0,5).

解法二:要使目标函数k=6x+8y取得最大值,即使直线y=-x+的截距最大,且阴影部分的点至少有一个在直线y=-x+上,因为-＞-1＞-2,所以易知所求点的坐标为(0,5).

解法三:如上图,作直线l:6x+8y=0,即作直线l:3x+4y=0.把直线l向右上方平移至l₂的位置,即直线l₂过可行域上的N点时,k=6x+8y取最大值.

解方程组得即N点坐标为(0,5),代入目标函数k=6x+8y,得k=6×0+8×5=40.故知所求点为(0,5)时,k=6x+8y取最大值40.