Question

已知直二面角α-CD-β，A∈α，B∈β．AB长为2l，AB与α成45°角，与β成30°角，A、B在二面角棱上的射影分别为C、D．
（1）求异面直线AD和BC所成的角的余弦值；
（2）求面ABC与面ABD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以C为原点AA'方向为x轴，CD为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系，利用

CB，

AD

夹角求出异面直线AD和BC所成的角的余弦值
（2）在面BCD内作DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，连接DF．可以证明∠DFE为面ABC与面ABD所成的角的平面角，在△DFE中求解即可．

解答：解：由于二面角α-CD-β 是直二面角，且BD⊥α
所以BD⊥α，AB与α所成的角即为∠BAD，
同理AB与β所成的角即为∠ABC．即∠BAD=45°，∠BAD=30°．又△ABC和△ABD都是直角三角形AB=2l，则AC=l，BD=AD=

2

l，CD=l．
（1）以C为原点AA'方向为x轴，CD为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系．

不妨令l=1则 C(0，0，0)，B(

2

，1，0)，A（0，0，1），D（0，1，0）
于是

CB

=(

2

，1，0)，

AD

=(0，1，-1)，
∴cos＜

AD

，

CB

＞=

AD • CB

| AD |•| CB |

=

(0，1，-1)•( 2 ，1，0)

2 • 3

=

1

6

=

6

6

．
∴异面直线AD和BC所成的角的余弦值为

6

6

．--------------------------------------------（4分）
（2）在面BCD内作DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，连接DF．

由于BC是AB在面BCD内的射影，DE⊥BC，则DE⊥AB，又EF⊥AB，∴∠DFE为面ABC与面ABD所成的角的平面角．--------------------------------------（8分）
RT△CDB，CD×DB=BC×DE，DE=

2

3

，
RT△ADB，AD×BD=AB×DF，DF=1，∴EF=

1

3

．
在△DFE中，由余弦定理，求得cos∠DFE=

EF

DF

=

1

3

=

3

3

面ABC与面ABD所成二面角的余弦值为

3

3

．
．----------------------------------------（12分）

点评：本题考查异面直线夹角，二面角大小求解，考查考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．