Question

用总长14.8 m的钢条制作一个长方体的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

答案：
解析：

解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，高为＝3.2－2x． 　　由3.2－2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6. 　　设容器的容积为y m3，则有y＝x(0.5＋x)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)． 　　∴＝－6x2＋4.4x＋1.6. 　　令＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x1＝1，x2＝(不合题意，舍去)． 　　当x＝1时，y取最大值，y最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)． 　　∴当高为1.2 m时容器的容积最大为1.8 m3． 　　解析：设容器底面短边长为x，将容积表示为x的函数，用导数求函数的最值．

提示：

在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．