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    已知函数，.若函数依次在处取到极值.

    （1）求的取值范围；

    （2）若，求的值.

     

    【答案】

    （1）；（2）8.

    【解析】

    试题分析：（1）先求原函数的导函数，令，

    再求的单调性及极值，让列不等式组即可求解；（2）由是的三个根，令，化简上式根据对应系数相等列方程组求解.

    试题解析：（1）

     

    （2）

     

    考点：1、利用导数求函数的单调性及极值；2、导数与函数的综合应用.

     

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    （Ⅰ）试求出x2的值并写出xn+1与xn的关系；
    （ II）求证：n-1＜
    1
    x1
    +
    1
    x2
    +…+
    1
    xn
    ≤n-
    1
    2
    (n∈N*)    ．

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    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    （Ⅰ）试求出x2的值并写出xn+1与xn的关系；
    （ II）求证：．

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    已知函数；

    （1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围。

    （2）若函数，若在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，求实数的取值范围。

    【解析】第一问中，利用导数，因为在其定义域内的单调递增函数，所以 内满足恒成立，得到结论第二问中，在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，转换为不等式有解来解答即可。

    解：（1），

    因为在其定义域内的单调递增函数，

    所以 内满足恒成立，即恒成立，

    亦即，

    即可  又

    当且仅当，即x=1时取等号，

    在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是.

    （2）在[1，e]上至少存在一个x的值使成立，等价于不等式 在[1，e]上有解，设

     上的增函数，依题意需

    实数k的取值范围是

     

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