Question

6．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为$\frac{1}{12}$，则a的值为-1．

Answer 1

分析 由x=0是f（x）=0的一个极值点，可得f′（0）=0，求得b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为$\frac{1}{12}$，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可

解答 解：由f（x）=-x³+ax²+bx，得f′（x）=-3x²+2ax+b．
∵x=0是原函数的一个极值点，∴f′（0）=b=0．
∴f（x）=-x²（x-a），有∫_a⁰（x³-ax²）dx=（$\frac{1}{4}{x}^{4}-\frac{1}{3}a{x}^{3}$）|_a⁰=0-$\frac{{a}^{4}}{4}+\frac{{a}^{4}}{3}$=$\frac{{a}^{4}}{12}$=$\frac{1}{12}$，
∴a=±1．
函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．