Question

（2012•珠海一模）已知函数g（x）=x²+2x，数列{a_n}满足a1=

1

2

，2a_n+1=g（a_n）；数列{b_n}的前n项和为T_n，数列{b_n}的前n项积为R_n，bn=

1

2+an

（n∈N₊）．
（1）求证：2ⁿ⁺¹R_n+T_n=2
（2）求证：5n-4n≤

5nTn

2

＜5n．

Answer 1

分析：（1）先确定数列{b_n}的通项，利用裂项法求和，利用叠乘法求积，即可证得结论；
（2）要证明5n-4n≤

5nTn

2

＜5n成立，只须证明2[1-(

4

5

)n]≤Tn＜2成立．证明{a_n}是递增的正项数列，{b_n}是递减的正项数列，即可证得结论．

解答：证明：（1）∵g（x）=x²+2x，∴2a_n+1=g（a_n）=

a

2 n

+2an
∴

1

2+an

=

1

2

•

an

an+1

=bn
∴bn=

1

2

•

an

an+1

=

1

2

•

a 2 n

anan+1

=

1

2

•

2(an+1-an)

anan+1

=

1

an

-

1

an+1

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+(

1

a3

-

1

a4

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)=2-

1

an+1

Rn=b1b2b3…bn=

1

2n

•

a1

a2

•

a2

a3

•

a3

a4

…

an

an+1

=

1

2n

•

a1

an+1

=

1

2n+1an+1

∴2ⁿ⁺¹R_n+T_n=2n+1•

1

2n+1an+1

+2-

1

an+1

=2
（2）要证明5n-4n≤

5nTn

2

＜5n成立，只须证明2[1-(

4

5

)n]≤Tn＜2成立
由a1=

1

2

＞0且an+1=

1

2

(

a

2 n

+2an)知，若a_n＞0，则a_n+1＞0
∴由（1）知Tn=2-

1

an+1

＜2
又an+1-an=

1

2

a

2 n

＞0，∴a_n+1＞a_n＞0，∴{a_n}是递增的正项数列
∴bn=

1

2+an

＞

1

2+an+1

=bn+1＞0，∴{b_n}是递减的正项数列
∵b1=

1

2+a1

=

2

5

，∴Rn=b1b2b3…bn≤(

2

5

)n
∵2ⁿ⁺¹R_n+T_n=2，∴Tn=2-2n+1Rn≥2(1-2nRn)≥2[1-(

4

5

)n]
∴2[1-(

4

5

)n]≤Tn＜2，
∴5n-4n≤

5nTn

2

＜5n

点评：本题考查数列递推式，考查裂项法与叠乘法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．