Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，点D是AB的中点

(Ⅰ)求证：AC⊥BC₁；

(Ⅱ)求二面角D－CB₁－B的平面角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， 　　 　　∴AC⊥BC，　2分 　　又AC⊥，且 　　∴AC⊥平面BCC1，又平面BCC1　4分 　　∴AC⊥BC1　5分 　　(Ⅱ)解法一：取中点，过作于，连接 　　是中点， 　　∴，又平面 　　∴平面， 　　又平面，平面 　　∴ 　　∴又且 　　∴平面，平面 　　∴又 　　∴是二面角的平面角　10分 　　AC＝3，BC＝4，AA1＝4， 　　∴在中，，， 　　∴　11分 　　∴二面角的正切值　12分 　　解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系　6分 　　AC＝3，BC＝4，AA1＝4， 　　∴，，，， 　　∴， 　　平面的法向量，　7分 　　设平面的法向量， 　　则，的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小　8分 　　则由令，则， 　　∴　10分 　　，则　11分 　　∵二面角是锐二面角 　　∴二面角的正切值为　12分