Question

在数列{a_n}中，a₁=a₂=1，当n∈N^*时，满足aⁿ⁺²=a_n+1+a_n，且设b_n=a_4n，求证：{b_n}各项均为3的倍数.

Answer 1

分析：由于要证的是与正整数n有关的命题，可用数学归纳法证之，这里要注意数列{a_n}是由递推关系给出的.

证明：（1）∵a₁=a₂=1，故a₃=a₁+a₂=2，a₄=a₃+a₂=3，

∴b₁=a₄=3，即当n=1时，b₁能被3整除.

（2）假设n=k时，即b_k=a_4k是3的倍数.

则n=k+1时，

b_k+1=a_4（k+1）=a_（4k+4）=a_4k+3+a_4k+2

=a_4k+2+a_4k+1+a_4k+1+a_4k

=3a_4k+1+2a_4k.

由归纳假设，a_4k是3的倍数，故可知b_k+1是3的倍数.

∴n=k+1时命题正确.

综合（1）（2），可知对任意正整数n，数列{b_n}的各项都是3的倍数.