Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点.

（Ⅰ）求点B到平面A₁C₁CA的距离；

（Ⅱ）求二面角B―A₁D―A的大小；

（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱住  ∴CC₁⊥底面ABC  ∴CC₁⊥BC

∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A₁C₁CA，                      

∴BC长度即为B点到平面A₁C₁CA的距离

∵BC=2  ∴点B到平面A₁C₁CA的距离为2；                  

（Ⅱ）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM，

∵BC⊥平面ACC₁A₁   ∴CM为BM在平面A₁C₁CA的内射影，

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角，        

平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，  ，，

即二面角B―A₁D―A的大小为；                       

（Ⅲ）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD             

其位置为AC中点，证明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱  ∴B₁C₁//BC

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F   ∵F为AC中点  

∴C₁F⊥A₁D   ∴EF⊥A₁D

同理可证EF⊥BD   

  ∴EF⊥平面A₁BD，∵E为定点，平面A₁BD为定平面，

∴ 点F唯一；       

解法二：

（Ⅰ）同解法一    

（Ⅱ）∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱住   C₁C=CB=CA=2

AC⊥CB  D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点

建立如图所示的坐标系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2），                                  

  设平面A₁BD的法向量为

           

平面ACC₁A₁的法向量为=（1，0，0）         

即二面角B―A₁D―A的大小为；                     

（Ⅲ）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD，

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，当且仅当n//，        

   ，         

∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件即点F为AC中点.